Ley de Hooke

En el siglo XVII, al estudiar los resortes y la elasticidad, el físico Robert Hookeobservó que para muchos materiales la curva de esfuerzo vs. deformación tiene una región lineal. Dentro de ciertos límites, la fuerza requerida para estirar un objeto elástico, como un resorte de metal, es directamente proporcional a la extensión del resorte. A esto se le conoce como la ley de Hooke, y comúnmente la escribimos así 

F= - k x

Donde $F$F es la fuerza, $x$x la longitud de la extensión o compresión, según el caso, y $k$k es una constante de proporcionalidad conocida como constante de resorte, que generalmente está en $\mathrm{N/m}$N, slash, m.

Aunque aquí no hemos establecido explícitamente la dirección de la fuerza, habitualmente se le pone un signo negativo. Esto es para indicar que la fuerza de restauración debida al resorte está en dirección opuesta a la fuerza que causó el desplazamiento. Jalar un resorte hacia abajo hará que se estire hacia abajo, lo que a su vez resultará en una fuerza hacia arriba debida al resorte.

Al abordar problemas de mecánica que implican elasticidad, siempre es importante asegurarnos de que la dirección de la fuerza de restauración sea consistente. En problemas simples a menudo podemos interpretar la extensión $x$x como un vector unidimensional. En este caso, la fuerza resultante también será un vector de una dimensión, y el signo negativo en la ley de Hooke le dará la dirección correcta.

Cuando calculemos $x$x es importante recordar que el resorte también tiene una longitud inicial $L_0$L, start subscript, 0, end subscript. La longitud total $L$L del resorte extendido es igual a la longitud original más la extensión, $L = L_0 + x$L, equals, L, start subscript, 0, end subscript, plus, x. Para un resorte bajo compresión sería $L=L_0-x$L, equals, L, start subscript, 0, end subscript, minus, x.

EJEMPLO

una persona de 75 kg está parada sobre un resorte de compresión que tiene una constante de resorte de $5000~\mathrm{N/m}$5000, space, N, slash, m y una longitud inicial de $0.25~\mathrm{m}$0, point, 25, space, m. ¿Cuál es la longitud total del resorte con la persona encima? 

Usando la ley de Hooke, encontramos la extensión:

$\begin{aligned} x &= \frac{F}{k} \\ &= \frac{mg}{k} \\ &= \frac{(75~\mathrm{kg})\cdot(9.81~\mathrm{m/s^2})}{5000~\mathrm{N/m}}\\&\simeq 0.15~\mathrm{m} \end{aligned}$

Ahora le restamos esto a la longitud inicial del resorte:

$\begin{aligned} L &= L_0-x \\ &= 0.25-0.15~\mathrm{m}\\&= 0.1~\mathrm{m}\end{aligned}$